El análisis y la lógica, así como algunos conocimientos básicos acerca de los números, son piezas fundamentales en el estudio de las distintas estrategias de juegos conocidos, como el ajedrez, juegos de naipes, dados y muchos más, en esta oportunidad hablaremos de una familia especial de juegos de estrategia, conocidos como NIM. Estos se pueden utilizar como una buena herramienta metodológica en el aula o, simplemente, para acercar a nuestros hijos a las matemáticas en nuestros propios hogares.
El origen de este tipo de juegos se ubica hace varios milenios, y se practicaba en las estepas de Asia central. No es propiamente un juego de tablero, pues en su origen se jugaba sobre el suelo, con objetos hallados en el mismo sitio como guijarros, palitos, granos, entre otros. Sobre estos juegos, puede consultar [2] y [3], especialmente el interesante artículo Juegos matemáticos en la enseñanza de Miguel de Guzmán, en donde se exponen de manera precisa y con rigurosidad histórica, los distintos tipos de juegos y su utilidad en la enseñanza, más allá de la simple actividad lúdica.
En los distintos juegos que veremos, cuando hablamos de objetos, se refiere a mondadientes, frijoles, monedas, entre otros. Una buena estrategia para resolver los juegos NIM es estudiar los juegos más sencillos para intentar descubrir el patrón que determina cuál de los dos jugadores gana (el que comienza o el segundo).
Todos ellos se prestan para discutir propiedades relativas a los números, en ellos se puede disfrutar al descubrir la estrategia ganadora y son aptos para jugar con todo tipo de público. Las reglas de estos juegos se pueden modificar al cambiar el número de objetos al inicio, el número de objetos que se puede tomar en cada jugada o si la persona en tomar el último objeto gana o pierde. Partiendo, por supuesto, de la premisa que se está jugando lo mejor posible, siempre se debe analizar sobre cuál es la mejor jugada posible.
A continuación se presentan algunas variaciones de juegos NIM, tomados de [2]. Todos los juegos propuestos son para dos personas, tienen obligatoriamente un ganador y todos tienen un número finito de jugadas. Para estos juegos, el turno de juego se va alternando.
Juego 1. Comience con diez objetos. En su turno puede tomar uno o dos objetos. El jugador que saque el último objeto gana.
Juego 2. Inicie con quince objetos. En su turno usted puede tomar uno, dos o tres objetos. Al analizar el juego, gana el jugador que tenga en su poder un número par de objetos.
Juego 3. Comience con tres grupos de objetos. Uno de tres, otro de cinco y el tercer grupo de siete objetos. Cuando sea su turno puede tomar un grupo entero o sólo una parte de él. El jugador que tome el último objeto del último grupo gana.
Juego 4. Coloque ocho objetos en fila. Cuando sea su turno tome uno o dos objetos, pero si toma dos, estos deben ser adyacentes. Quien tome el último objeto gana.
En un NIM típico el jugador que no pueda mover, por ejemplo, cuando no quedan más piezas por tomar, es la que pierde, sin embargo, esta regla se puede cambiar y con ello se obtienen variaciones importantes a la hora de planificar una estrategia.
Juego 5. Igual al anterior, pero la persona que no puede mover gana, es decir, usted está jugando una versión invertida del juego anterior, con la diferencia que el jugador que toma el último objeto pierde.
Juego 6. Comience con un grupo de trece objetos. En su turno debe separar el grupo en dos montones desiguales, es decir, con distinto número de objetos. Si no puede hacerlo, pierde.
Por ejemplo, en mi turno puedo separar el grupo de 13 en dos grupos de seis y siete. Ahora es su turno. Usted puede separar el grupo de siete en grupos de seis y uno; o cinco y dos; o tres y cuatro. Podrá también separar el grupo de seis en uno y cinco; o dos y cuatro. No está permitido separarlo en tres y tres. El juego habrá terminado cuando sólo queden grupos de dos y un objeto.
El ejemplo a continuación está hecho pensando en monedas, sin embargo, para este juego se puede usar cualquier objeto que tenga dos caras distintas, llámelas cara A y B.
Juego 7. Comience con una fila de diez monedas con la cara A hacia arriba. En su turno, usted debe dar vuelta a una moneda, es decir, cara B hacia arriba, y además tiene la opción de voltear cualquier otra moneda que esté a la izquierda de la primera que invirtió. Si usted no puede jugar, es decir, todas las monedas tienen la cara B hacia arriba, pierde.
Ambos jugadores deben estar mirando la fila de monedas desde el mismo lado, de tal manera que la dirección “izquierda” sea la misma. Revisemos las reglas de este juego. En su turno usted puede voltear una o dos monedas. La segunda moneda -la opcional- puede ser volteada para quedar con la cara A hacia arriba.
Por ejemplo, si yo volteara la moneda cinco, usted en su turno podrá voltear la moneda siete y además voltear la moneda cinco para que vuelva a quedar con la cara A hacia arriba. Observe que la última moneda de la derecha, la diez, sólo puede ser volteada una vez, ya que ésta no tiene ninguna moneda a su derecha.
Juego 8. Considere el siguiente juego: Con una cantidad inicial de 40 piedras, los jugadores pueden, en cada turno, quitar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras a su antojo y gana quien se lleve la última piedra. Si suponemos que juegan A y B y que le toca iniciar a A. ¿Cuál es la estrategia ganadora para A?
En un próximo aporte, continuaré con varios juegos del tipo NIM, relacionados con algunas propiedades interesantes de los números enteros.
El origen de este tipo de juegos se ubica hace varios milenios, y se practicaba en las estepas de Asia central. No es propiamente un juego de tablero, pues en su origen se jugaba sobre el suelo, con objetos hallados en el mismo sitio como guijarros, palitos, granos, entre otros. Sobre estos juegos, puede consultar [2] y [3], especialmente el interesante artículo Juegos matemáticos en la enseñanza de Miguel de Guzmán, en donde se exponen de manera precisa y con rigurosidad histórica, los distintos tipos de juegos y su utilidad en la enseñanza, más allá de la simple actividad lúdica.
En los distintos juegos que veremos, cuando hablamos de objetos, se refiere a mondadientes, frijoles, monedas, entre otros. Una buena estrategia para resolver los juegos NIM es estudiar los juegos más sencillos para intentar descubrir el patrón que determina cuál de los dos jugadores gana (el que comienza o el segundo).
Todos ellos se prestan para discutir propiedades relativas a los números, en ellos se puede disfrutar al descubrir la estrategia ganadora y son aptos para jugar con todo tipo de público. Las reglas de estos juegos se pueden modificar al cambiar el número de objetos al inicio, el número de objetos que se puede tomar en cada jugada o si la persona en tomar el último objeto gana o pierde. Partiendo, por supuesto, de la premisa que se está jugando lo mejor posible, siempre se debe analizar sobre cuál es la mejor jugada posible.
A continuación se presentan algunas variaciones de juegos NIM, tomados de [2]. Todos los juegos propuestos son para dos personas, tienen obligatoriamente un ganador y todos tienen un número finito de jugadas. Para estos juegos, el turno de juego se va alternando.
Juego 1. Comience con diez objetos. En su turno puede tomar uno o dos objetos. El jugador que saque el último objeto gana.
Juego 2. Inicie con quince objetos. En su turno usted puede tomar uno, dos o tres objetos. Al analizar el juego, gana el jugador que tenga en su poder un número par de objetos.
Juego 3. Comience con tres grupos de objetos. Uno de tres, otro de cinco y el tercer grupo de siete objetos. Cuando sea su turno puede tomar un grupo entero o sólo una parte de él. El jugador que tome el último objeto del último grupo gana.
Juego 4. Coloque ocho objetos en fila. Cuando sea su turno tome uno o dos objetos, pero si toma dos, estos deben ser adyacentes. Quien tome el último objeto gana.
En un NIM típico el jugador que no pueda mover, por ejemplo, cuando no quedan más piezas por tomar, es la que pierde, sin embargo, esta regla se puede cambiar y con ello se obtienen variaciones importantes a la hora de planificar una estrategia.
Juego 5. Igual al anterior, pero la persona que no puede mover gana, es decir, usted está jugando una versión invertida del juego anterior, con la diferencia que el jugador que toma el último objeto pierde.
Juego 6. Comience con un grupo de trece objetos. En su turno debe separar el grupo en dos montones desiguales, es decir, con distinto número de objetos. Si no puede hacerlo, pierde.
Por ejemplo, en mi turno puedo separar el grupo de 13 en dos grupos de seis y siete. Ahora es su turno. Usted puede separar el grupo de siete en grupos de seis y uno; o cinco y dos; o tres y cuatro. Podrá también separar el grupo de seis en uno y cinco; o dos y cuatro. No está permitido separarlo en tres y tres. El juego habrá terminado cuando sólo queden grupos de dos y un objeto.
El ejemplo a continuación está hecho pensando en monedas, sin embargo, para este juego se puede usar cualquier objeto que tenga dos caras distintas, llámelas cara A y B.
Juego 7. Comience con una fila de diez monedas con la cara A hacia arriba. En su turno, usted debe dar vuelta a una moneda, es decir, cara B hacia arriba, y además tiene la opción de voltear cualquier otra moneda que esté a la izquierda de la primera que invirtió. Si usted no puede jugar, es decir, todas las monedas tienen la cara B hacia arriba, pierde.
Ambos jugadores deben estar mirando la fila de monedas desde el mismo lado, de tal manera que la dirección “izquierda” sea la misma. Revisemos las reglas de este juego. En su turno usted puede voltear una o dos monedas. La segunda moneda -la opcional- puede ser volteada para quedar con la cara A hacia arriba.
Por ejemplo, si yo volteara la moneda cinco, usted en su turno podrá voltear la moneda siete y además voltear la moneda cinco para que vuelva a quedar con la cara A hacia arriba. Observe que la última moneda de la derecha, la diez, sólo puede ser volteada una vez, ya que ésta no tiene ninguna moneda a su derecha.
Juego 8. Considere el siguiente juego: Con una cantidad inicial de 40 piedras, los jugadores pueden, en cada turno, quitar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras a su antojo y gana quien se lleve la última piedra. Si suponemos que juegan A y B y que le toca iniciar a A. ¿Cuál es la estrategia ganadora para A?
En un próximo aporte, continuaré con varios juegos del tipo NIM, relacionados con algunas propiedades interesantes de los números enteros.
"Dios no juega a los dados"
Albert Einstein
Referencias
[1] de Guzmán, Miguel. Juegos matemáticos en la enseñanza, España.
[2] Erickson, Timothy. ¿Aburrido de los típicos NIM?, Memorias del Primer Festival de Matemáticas, Costa Rica, 1998.
[3] Murillo T. Manuel y González A. Fabio. Teoría de los números, Editorial Tecnológica, Costa Rica, 2006.
[4] Murillo T. Manuel et al. Un mosaico de ajedrez, Educación, matemática e Internet, Costa Rica, 2001.
1 comentario:
Como siempre, Manuel deleitando al publico con sus articulos tan interesantes. Saludos!
J. Gabriel Umaña
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