2 de marzo de 2009

De cuadrados mágicos y Gaudí

En la entrada anterior La magia de los números, nos referimos a algunas consideraciones interesantes acerca de los números y su relación con la magia y la superstición. Siempre relacionado con este tema, hablaremos hoy de los cuadrados mágicos. El primero conocido, de la antigua China en el siglo III a.C., es:
Se le llama así, cuadrado mágico, pues al construirlo se utilizaron los números del 1 al 9 y al sumar los elementos que se encuentran en sus columnas, filas o las dos diagonales, se obtiene siempre el mismo resultado de 15, que se le llama la suma mágica.


Pensemos ahora en el cuadrado de orden 4 que se obtiene colocando los números del 1 al 16 de la siguiente forma:

Se puede comprobar, para verificar que es un cuadrado mágico, que la suma de los elemento de las filas, columnas o las dos diagonales es el mismo valor de 34, su suma mágica. Este cuadrado fue incorporado por el pintor Alberto Durero en su obra Melancolía, en la parte superior derecha de la obra y cumple algunas propiedades adicionales, como por ejemplo, incluye la fecha de la pintura en la parte inferior al centro, año 1514, la suma de las cuatro celdas centrales (10,11,6,7), las cuatro esquinas (16,13,4,1) y otras combinaciones simétricas, suman también 34, entre muchas otras propiedades, que le dan un carácter más que mágico a este cuadrado.

Debo decir que existen, aparte de los dados anteriormente, varios cuadrados de orden 3 y otros muchos de orden 4, y por supuesto entre mayor tomamos el orden o tamaño de este cuadrado, será mayor la dificultad de ordenar los números de manera que se cumpla que la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal sea la misma. Como dato interesante, para los de orden 4, De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mágicos distintos. Más adelante se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes sólo se tienen estimaciones.


El gran inventor estadounidense, Benjamin Franklin, encontró el cuadrado mágico de orden 8 dado por:



En donde cada fila, diagonal y columna suman 260, él mismo era apasionado por este tipo de problemas, que ocupaban sus horas de ocio mientras hacía las labores de oficinista en Filadelfia, como dato curioso, y evidencia de su genialidad, se cuenta que en una sola tarde, logró resolver el cuadrado de orden 16.


Leonard Euler, el más prolífico y gran matemático suizo encontró un cuadrado mágico de orden 8, en donde cada fila y cada columna suma 260, pero que además, cada fila y columna de cada uno de los cuatro subcuadrados de orden 4 que se obtienen, si partimos este cuadrado en cuatro, sumaba 130 y, adicionalmente, tal que en este "tablero mágico" de orden 8 se describe la ruta del movimiento del caballo por todo el tablero sin estar dos veces en ninguna de ellas conocido como el "problema del movimiento del caballo".

De las variaciones de los cuadrados mágicos, la que más me ha llamado la atención es el de orden 4 que se incorpora en La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, monumental y alucinante obra de Antonio Gaudí, vemos en el beso de Judas:

El criptograma de Gaudí, como lo llaman, ampliado es:


En este caso la constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo, para ello, dos de los números (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen dos repeticiones, de esta manera se logra rebajar la constante mágica en 1 unidad, de 34 a 33.


Esta suma mágica será siempre 33, en 310 combinaciones distintas en grupos de cuatro, solo por citar algunas: 1,14,11,7 (subcuadrado superior izquierdo) ó 8,10,13,2 (subcuadrado inferior izquierdo) ó 7,6,10,10 (subcuadrado interior) ó 14,11,6,2 (una cruz) ó 14,7,9,3 (una cruz) ó 14,6,10,3 (culebrilla) ó 11,8,9,5 ó 14,14,2,3, entre otras que usted mismo puede intentar por medio de figuras geométricas o recorridos.


De esta manera, podemos utilizar en nuestras aulas la magia de estos cuadrados para motivar a nuestros estudiantes y, de paso, evidenciar la gran relación que existe entre las matemáticas y el arte.


Enlaces recomendados:
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El genio del Cuadrado Mágico
Matemáticas

10 comentarios:

Juan Gabriel dijo...

Bueno, es este tal vez uno de los artículos más interesantes que se han publicado en este blog. Me parece que este tipo de texto enriquecen a las personas no solo en el ámbito matemático, sino también en el histórico y cultural. Saludos!

Anónimo dijo...

Leí con atención el artículo De cuadrados mágicos y Gaudí. No me queda más que decir ¡qué mundo mágico el de los números! y digo esto sin saber mucho de ellos. Siempre pasaba raspando en matemáticas. (A mí me gustan más las palabras: ¡cuestión de gustos!).
En 2004 estuve de visita en la iglesia de la Sagrada Familia en Barcelona, y de seguro vi ese cuadrado con números, y no me transmitieron nada. Así sucederá con miles y miles de turistas, que no entienden esa simbología algo misteriosa metida en esculturas gaudianas.

Un abrazo,
Juan Ramón

Anónimo dijo...

Estimado Manuel
He leído con especial atención sus dos últimos artículos. Son de lectura muy sabrosa que cumplen el cometido de enriquecer la mente con nueva información pero que provoca a la reflexión. Le felicito y siga adelante.
Olman Díaz

Milton Fernández Fernández dijo...

¡Excelente artículo Manuel!
El tema de los cuadrados mágicos es uno de mis preferidos. En una de las últimas ediciones del "El Hombre que Calculaba" del célebre escritor brasileño Júlio César de Mello Souza, más conocido por su seudónimo, Malba Tahan, en la sección de apéndices de la obra, aparece un interesante artículo sobre cuadrados mágicos; luego te enviaré los detalles de la editorial y el año en que se publicó esa edición.
Con respecto a la Matemática y la superstición, me encontré un librito interesante de Miguel Lara de la UNAM, donde trata dicho tema. El título del libro es Antología Matemática I.
Como bien lo señalan las otras personas que han dejado su comentario, este tipo de temas enriquece el bagaje cultural de las personas.

Anónimo dijo...

Manuel nos deleita con otro artículo interesante que nos recuerda la relacion existente entre las matemáticas y el arte. El arte y la matemática han estado relacionados desde los inicios de la civilización. Ellos aparecen en todas las culturas. Es una relación profunda en donde se mezclan el sentido de la estética, la búsqueda de un ideal de perfección, la exploración del espacio tiempo y el reconocimiento de formas y patrones de repetición.
Les adjunto una referencia digital del suplemento de áncora, que ejemplifica un caso de estos:
http://www.nacion.com/ancora/2008/noviembre/02/ancora1753295.html

Saludos!

Cristian Quesada F.

FLORIZUL dijo...

Muy interesante la exposición sobre la variedad de cuadrados mágicos lo cual desconocía. Hasta ahora presto atención al asunto de las órdenes, apesar de que con mis alumnos he trabajado esto, pero sin dar mucha explicación, mucho detalle, simplemente para "jugar" con los números y practicar las operaciones fundamentales.
Cuando estuve frente a la magnífica obra de Gaudí, La Sagrada Familia, y después de sentir escalofríos ante tal maravilla, observé con mucho detenimiento sus detalles, muchos de los cuales me fascinaron; apenas divisé el cuadrado mágico junto al beso de Judas a Jesús y escuché la explicación, lo primero que pensé fue en los matemáticos que conozco y en lo bonito que sería incorporar a mis clases este detalle y ese cuadrado mágico en específico.
Me gustó mucho el dato de Benjamín Franklin, un motivo más para admirar a tan gran hombre.
Flori =)

Anónimo dijo...

Muy interesante, espero continue escribiendo y aportándonos ideas.
Euyenni Barboza

Ismael dijo...

Manuel, siempre tan excelente en tu narrativa, que alienta a cualquier mortal a leer tu blog. Espero que nos sigás deleitando con estas reflexiones tan educativas.

Moni78 dijo...

Interesante explicación, cuando estuve en Barcelona me intrigó mucho este enigma. Será coincidencia que los dos primeros números del cuadrado mágico 1 y 14 corresponden al pasaje del evangelio de Juan que dice: Y el Verbo se hizo hombre y habitó entre nosotros. Y hemos contemplado su gloria, la gloria que corresponde al Hijo unigénito del Padre, lleno de gracia y de verdad...?

Anónimo dijo...

BUENO, ESTO DE LOS CUADRADOS MAGICOS ME HA PARECIDO SUPER INTERESANTE, NO HABIA REPARADO EN STO, DE NO SER AL LEER EL LIBRO DE DAN BROWN :EL SIMBOLO PERDIDO, QUE POR CIERTO SE LOS RECOMIENDO.